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材料力学中关于正负问题的一些讨论

本人是专业属于航空航天领域，因此下面的一些谈论与机械方面的专业比较契合，不过不管是土木水利还是机械航空航天，逻辑上是相同的。

对于物理量正负的讨论可以先从理论力学溯源，理论力学中的规定很简单：笛卡尔坐标系中，沿坐标轴正向的为正，反之为负；对于力矩，逆时针为正，顺时针为负。理论力学中规定的正负就是为了体现一个“相对含义”，是为了区分不同的方向，是一种纯粹的“规定”。

来到材料力学，由于研究的侧重点转移到了应变应力，所以引入了单元体概念，同时也引出了正面和负面的概念。材料力学这么规定：外法线方向沿坐标系正向的为正面，反之为负面；对于力矢量，正面上沿坐标系正方向的为正，而负面上沿坐标系正方向的为负，力矩正负的规定与之相同。可以发现，材料力学中的规定有了更多层次的相对含义：笛卡尔坐标系本身有正负的相对，正面和负面有相对关系，面上的物理矢量有相对的正负关系。而经过这么一层又一层的逻辑嵌套，这种规定就只想表达一个意思：材料力学中物理量的正负只表示作用效果的含义。

如果经过了大量的思考和实践就可以发现，无论你规定的笛卡尔坐标系方向如何，如果某个物理量在某一种坐标系意义下为正，那么这个量在任何坐标系意义下都为正，因为坐标系总归只是人为建立的帮助描述的工具，物理量本身是不会发生变化的，它的作用效果不会变，因而正负就不会变。我们所看到的规定实际上是为了更严格地表达而用逻辑进行了包装，为了能更符合学术上的语言。毕竟是一门严格的科学，我们不能简单粗暴地说作用效果为拉伸的力为正等等，这样定性的语言很不严谨，尤其作为教材语言容易造成理解上的偏差。但缺点就是掩盖了其本身的力学含义。

但是在学习过程中我们还是会有一些膈应的地方：因为理论力学中的规定能够很明显看出来，在数学上是非常自洽的，因此各种公式的推导很容易接受。而在材料力学中，物理量的正负有了比较复杂的意义，其中的各种公式推导中也沿用着这样的规定，公式的推导我们容易接受，但在使用的过程中往往会出现麻烦，尤其是在超静定问题当中。

首先我们要明确一点，材料力学中所有公式的力学量都是自带正负号的，也就是说可正可负，分别表示不同的效果。如果是单纯使用材料力学公式，不会出现任何问题，但如果是超静定问题，和其他方程联立，就需要仔细想清楚其中的概念了。

超静定问题中我们一般有三种方程：力学方程，几何方程，物理方程（材料力学方程）。单纯从这里我们就能看处一个问题，这三类方程中物理量正负的含义本身是不同的，但我们还是要实现联立。在解这类问题时，我们会通常假设力的作用效果，假设过后各个物理量的方向在我们看来就是已知的，在这样的条件下，我们去列所谓的力学方程，其未知数本质上是物理量的绝对值，也就是大小。而我们去列物理方程的时候，由于力学方程中未知数是物理量的大小，因此，物理方程的含义就变为了拉伸或压缩的大小，也变成了一个标量方程。但这个量的作用效果我们必须自己明白，因为这是根据我们的假设得到的。最后看几何方程，几何方程是根据变形后的状态所列出的空间关系。首先有一个误区需要纠正，变形后的几何状态不需要与自己最初的假设严格相契合。在列几何方程的时候，我们除了要明确数量关系，还需要明确每一段长度，每一段角度是怎么形成的:拉伸？压缩？下凸？上凸？（根据几何直观得到）通过上述办法来将方程组转化为彻彻底底的标量方程。倘若几何关系与我们最初的作用效果假设相冲突，我们不妨用这样的角度思考问题：拉伸是压缩的反贡献。如果几何中显示出某一段长度是压缩形成，而相关的变形在我们最初的假设是拉伸，则需要在物理方程前面加负号，表示“反贡献”。而之所以物理方程变成标量式以后仍然具有作用效果的意义，是因为最初的假设决定了力的方向。

最后补充一点，在所有物理量都变成标量式以后，若结果带负号，表示实际情况与假设相反。

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